Questão 138, caderno azul do ENEM 2024

Para abrir a porta de uma empresa, cada funcionário deve cadastrar uma senha utilizando um teclado alfanumérico como o representado na figura.

Por exemplo: a tecla que contém o número 2 traz as letras correlacionadas A, B e C. Cada toque nessa tecla mostra, sequencialmente, os seguintes caracteres: 2, A, B e C. Para os próximos toques, essa sequência se repete. As demais teclas funcionam da mesma maneira.

As senhas a serem cadastradas pelos funcionários devem conter 5 caracteres, sendo 2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes, nessa ordem. Um funcionário irá cadastrar a sua primeira senha, podendo escolher entre as teclas que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0 e as respectivas letras correlacionadas, quando houver.

O número de possibilidades diferentes que esse funcionário tem para cadastrar sua senha é

A) 11 520.

B) 14 400.

C) 18 000.

D) 312 000.

E) 390 000.

Para resolver essa questão, utilizamos o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), que nos diz que, se um evento ocorre de 

$m$ maneiras e um segundo evento ocorre de $n$ maneiras, então a quantidade total de maneiras de ambos ocorrerem é dada pelo produto:

$$\text{Total de maneiras} = m \times n$$

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Passo 1: Escolher os dois números distintos

Os números disponíveis são {1, 2, 5, 7, 0}. Precisamos escolher 2 números distintos, e a ordem importa.

1. Escolha do 1º número: $5$ opções.

2. Escolha do 2º número (diferente do primeiro): $4$ opções.

Portanto, o número total de formas de escolher os dois números é:

$$5 \times 4 = 20$$

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Passo 2: Escolher as três letras distintas

As teclas disponíveis fornecem as seguintes letras:

• 2 → A, B, C

• 5 → J, K, L

• 7 → P, Q, R, S

No total, há 10 letras distintas. Precisamos escolher 3 letras diferentes, e a ordem importa.

1. Escolha da 1ª letra: $10$ opções.

2. Escolha da 2ª letra (diferente da 1ª): $9$ opções.

3. Escolha da 3ª letra (diferente das anteriores): $8$ opções.

O número total de formas de escolher as três letras é:

$$10 \times 9 \times 8 = 720$$

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Passo 3: Multiplicar todas as escolhas

Agora, aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem, multiplicando as possibilidades dos números e das letras:

$$20 \times 720 = 14.400$$

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Resposta final:

O número total de senhas possíveis é 14.400

LETRA B ✅ 

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Questão 137 - Caderno Azul - ENEM 2024

Questão 137 - Caderno Azul - ENEM 2024

Ao calcular a média de suas notas em 4 provas, um estudante dividiu, por engano, a soma das notas por 5. Com isso, a média obtida foi 1 unidade menor do que deveria ser, caso fosse calculada corretamente. O valor correto da média das notas desse estudante é

Resolução Comentada:

Seja 

$S$ a soma das notas do estudante. A média correta deveria ser calculada dividindo $S$ por 4:

$$M_c = \frac{S}{4}$$

Porém, o estudante cometeu um erro e dividiu $S$ por 5:

$$M_e = \frac{S}{5}$$

Segundo o enunciado, a média errada ficou 1 unidade menor do que a correta:

$$\frac{S}{5} = \frac{S}{4} - 1$$

Agora, resolvemos essa equação:

1. Multiplicamos ambos os lados por 20 (mínimo múltiplo comum de 4 e 5):

$$20 \times \frac{S}{5} = 20 \times \left(\frac{S}{4} - 1\right)$$

2. Simplificamos:

$$4S = 5S - 20$$

3. Isolamos $S$:

\( 5S - 4S = 20 \)

\( S = 20 \)

Agora, substituímos na fórmula da média correta:

$$M_c = \frac{S}{4} = \frac{20}{4} = 5$$

Resposta final:

O valor correto da média das notas do estudante é 5. ✅