segunda-feira, 31 de agosto de 2009

Prova de matemática do ENEM

Pessoal o ENEM vem aí, e não  há tempo a perder. No site oficial estão disponíveis questões-modelo da nova prova. Vamos aproveitar para resolver aqui aquelas referente à "matemática e suas tecnologias" . Bons estudos!
Questão 1:
Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o conceito de volume de sólidos, um professor fez o seguinte experimento: pegou uma caixa de polietileno, na forma de um cubo com 1 metro de lado, e colocou nela 600 litros de água. Em seguida, colocou, dentro da caixa com água, um sólido que ficou completamente submerso. Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, a altura do nível da água passou a ser 80
cm, qual era o volume do sólido?
(A) 0,2 m3
(B) 0,48 m3
(C) 4,8 m3
(D) 20 m3
(E) 48 m3

Resolução:
Primeiro, vamos descobrir o volume (V) da caixa . Como se trata de um cubo, a largura , o comprimento e altura são iguais. Neste caso: 1 metro.
$V = 1m \cdot 1m \cdot 1m = 1m^3$
$1m ^3$ corresponde a 1000 litros de água.
Então 600 litros será correspondente a um volume de  0,6 $m ^3$ que é portanto o volume inicial ocupado pela água no recipiente.
Com a adição do sólido a altura ocupada será de 0,8m. Logo,  o volume agora será de:
$V = 0,8m \cdot 1m \cdot 1m = 0,8m^3$
Para saber o volume do sólido basta subtrair o volume inicial ocupado pela água:
V = 0,8 - 0,6= 0,2$m ^3$
Portanto a resposta certa é letra A.

Questão 2:
 Uma elipse é uma seção plana de um cilindro circular reto, em que o plano que intersecta o cilindro é oblíquo ao eixo do cilindro (Figura 1). É possível construir um sólido de nome elipsóide que, quando seccionado por três planos perpendiculares entre si, mostram elipses de diferentes semieixos a, b e c, como na Figura 2. O volume de um elipsóide de semieixos a, b e c é dado por abc V=4/3πabc.
Considere que um agricultor produz melancias, cujo formato é aproximadamente um elipsóide, e ele deseja embalar e exportar suas melancias em caixas na forma de um paralelepípedo retângulo. Para melhor acondicioná-las, o agricultor preencherá o espaço vazio da caixa com material amortecedor de impactos (palha de arroz/serragem/bolinhas de isopor). Suponha que sejam a, b e c, em cm, as medidas dos semieixos do elipsóide que modela as melancias, e que sejam 2a, 2b e 2c, respectivamente, as medidas das arestas da caixa. Nessas condições, qual é o volume de material amortecedor necessário em cada caixa?
 
 
Resolução:
Para achar o volume pedido (que é o espaço vazio na caixa) basta subtrair do volume da caixa (Vc) o volume da melancia (Vm):

$V = Vc-Vm$
$Vc = 2a\times2b\times2c= 8ab$
$Vm = \dfrac{4}{3}\times \pi abc$
Portanto,
$V=8abc- \dfrac{4}{3} \times \pi abc$
Colocamos o fator abc em evidência e temos:
$V= abc \left(8 - \dfrac{4\pi}{3}\right)$

Resposta correta: letra D





Questão 3:
A evolução da luz: as lâmpadas LED já substituem com grandes vantagens a velha invenção de Thomas Edison. A tecnologia do LED é bem diferente das lâmpadas incandescentes e das fluorescentes. A lâmpada LED é fabricada com material semicondutor semelhante ao usado nos chips de computador. Quando percorrido por uma corrente elétrica, ele emite luz. O resultado é uma peça muito menor, que consome menos energia e tem uma durabilidade maior. Enquanto uma lâmpada comum tem vida útil de 1.000 horas e uma fluorescente de 10.000 horas, a LED rende entre 20.000 e 100.000 horas de uso ininterrupto. Há um problema, contudo: a lâmpada LED ainda custa mais caro, apesar de seu preço cair pela metade a cada dois anos. Essa tecnologia não está se tornando apenas mais barata. Está também mais eficiente, iluminando mais com a mesma quantidade de energia. Uma lâmpada incandescente converte em luz apenas 5% da energia elétrica que consome. As lâmpadas LED convertem até 40%. Essa diminuição no desperdício de energia traz benefícios evidentes ao meio ambiente.
A evolução da luz. Veja, 19 dez. 2007. Disponível em: http://veja.abril.com.br/191207/p_118.shtml
Acesso em: 18 out. 2008.

Considerando que a lâmpada LED rende 100 mil horas, a escala de tempo que melhor reflete a
duração dessa lâmpada é o:
(A) dia.
(B) ano.
(C) decênio.
(D) século.
(E) milênio.


Resolução:
Vamos resolver esta questão testando as opções disponíveis na resposta:

Vamos começar pelas escala 'dia':
Como um dia possui 24 horas, a duração da lâmpada seria de:
 $\dfrac{100.000}{24} = 4.166,67 dias$ 

O que não seria uma escala boa.


Vamos agora usar a escala " ano":
$1 ano= 365\times 24horas = 8760 horas$ . 
A duração da lâmpada em anos seria de 
100000/8760 = 11,41 anos

É uma escala melhor mas ,vejamos se  temos outra ainda melhor.

A escala em "decênio" será:
1 decênio = 10*8760 horas = 87600 horas
Fazendo 100.000/87600 = 1,14.

 Portanto uma escala bem melhor.
Resposta certa: letra C

16 comentários:

  1. na questão 2 a resposta é D.. pq se vai subtrair então vem um sinal de subtração e nao de adiçãoo néé?? ¬¬'

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  2. Paulinha, você está coberta de razão. A resolução está certa porém a opção escolhida está equivocada. A opção correta é letra D. O erro foi corrigido . Obrigado pelo aviso e parabéns pela atenção.
    Que isso sirva de exemplo. Muita atenção e concentração na hora da prova. Valeu!

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  3. André, blza?!
    Então, acabei de me tornar seguidor do seu blog. Também sou professor de Matemática de Ensino Médio e Cursinho. Podemos trocar experiências por aqui. Abração, Junior(MOMECO).

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  4. salvo o meu cérebro de ter queimado...

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  5. A questão 2 a sua resposta está assim
    V = abc (8 - 4π/3) porém vc diz q resposta é letra D q está asim V = abd (4π/3 -8 ) ou seja na ordem inversa a do seu calculo (o 8 atrás do 4π/3 e na sua resposta na frente )mas já letra E está na mesma ordem a final qual e resposta certa ? ou duas estão certas ?

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  6. estou achando que é melhor casar com um professor de matemática seria a solução

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  7. A figura a seguir mostra um retângulo de área 720 cm2, formado por nove retângulos menores e iguais. Qual é o perímetro, em centímetros, de um dos retângulos menores?

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  8. Eu estudo em escola pública, então não sei exatamente como continuar a conta da questão 2. Eu consegui tranquilamente chegar a "V = 8abc - 4/3*πabc", mas eu não sei como faz para continuar e gostaria de saber como ela se tornou "V = abc (8 - 4π/3)". Alguém poderia me ajudar?

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    1. Franz, colocamos o fator "abc" em evidência e dividimos cada termo por ele. Ok ?

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  9. olá franz... nesse caso você só precisa de visão para manipular a equação.. observe que ao fazer a distributiva você encontrará o mesmo valor..

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  10. amigo, dúvida na questão 3: como que você sabe quaal é a melhor escala?

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  11. Na questão 3,porque não foi testado as outras alternativas(d/e)?

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  12. A evolução da luz: as lâmpadas LED já substituem com grandes vantagens a velha invenção de Thomas Edison

    A tecnologia do LED é bem diferente da das lâmpadas incandescentes e fluorescentes. A lâmpada LED é fabricada com material semicondutor que, semelhante ao usado nos chips de computador, quando percorrido por uma corrente elétrica, emite luz. O resultado é uma peça muito menor, que consome menos energia e tem uma durabilidade maior. Enquanto uma lâmpada comum tem vida útil de 1.000 horas e uma fluorescente, de 10.000 horas, a LED rende entre 20.000 e 100.000 horas de uso ininterrupto.

    Há um problema, contudo: a lâmpada LED ainda custa mais caro, apesar de seu preço cair pela metade a cada dois anos. Essa tecnologia não está se tornando apenas mais barata. Está também mais eficiente, iluminando mais com a mesma quantidade de energia.

    Uma lâmpada incandescente converte em luz apenas 5% da energia elétrica que consome. As lâmpadas LED convertem até 40%. Essa diminuição no desperdício de energia traz benefícios evidentes ao meio ambiente.

    A evolução da luz. Energia. In: Veja, 19 dez. 2007. Disponível em: http://veja.abril.com.br/191207/p_118.shtml.

    Uma lâmpada LED que ofereça a mesma luminosidade que uma lâmpada incandescente de 100 W deverá ter uma potência mínima de

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